Question

在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为△ABC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。 只要做第三个问题就好了，因为是电脑拍的，所以拍出来的是反的，希望尽快给出答复，高分悬赏！！！先给10分，解答后给高分

Answer 1

猜想：CD = AC + AB
证明：作辅助线 AE=AB 交BD 于 E
　　∵AE=AB
　　∴∠B =∠AEC
　　∵∠ACB 为△ACE的外角
　　∴ ∠ACB = ∠ CAE+ ∠AEC
　　又∠ACB = 2∠B = 2∠AEC = ∠AEC+∠AEC
　　∴∠ CAE= ∠AEC =∠B
　　∴ AC = CE ①
　　∵ AD 为 ∠CAF 的平分线
　　∴∠CAD = ∠DAF
　　∴∠CAE + ∠EAD = ∠DAF = ∠B + ∠EAD
　　又∵∠DAF为△ABD 的外角
　　∴∠DAF=∠B +∠ADE
　　∴∠EAD = ∠ ADE
　　∴AE = ED = AB②
　　将①②代入CD = CE + ED 得：
　　∴ CD = AC + AB

Answer 2

1)∵AE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠DAC
∵AD=AD
∴⊿AED≌⊿ACD(SAS)
∴∠ACB=∠AED,DC=DE
∵,∠ACB=2∠B
∵∠B+∠EDB=∠ACB
∴∠B+∠EDB=2∠B
∴∠B=∠EDB
∴BE=DE
∴AB=AE+BE=AC+DC

追问

额，我要的答案是（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

追答

∵⊿DEA≌⊿DCA(SAS)
∴∠DEB=∠ACD
∵∠ACB=2∠B
∴∠ACD=180°-2∠B=∠DEB
在⊿BED中，∠EDB=180°-∠BED-∠B=180°-(180°-2∠B)-∠B=∠B
∴∠EDB=∠B
∴BE=DE
∴AB+AE=CD
∴AB+AC=CD

Answer 3

∵AE=AB
　　∴∠B =∠AEC
　　∵∠ACB 为△ACE的外角
　　∴ ∠ACB = ∠ CAE+ ∠AEC
　　又∠ACB = 2∠B = 2∠AEC = ∠AEC+∠AEC
　　∴∠ CAE= ∠AEC =∠B
　　∴ AC = CE ①
　　∵ AD 为 ∠CAF 的平分线
　　∴∠CAD = ∠DAF
　　∴∠CAE + ∠EAD = ∠DAF = ∠B + ∠EAD
　　又∵∠DAF为△ABD 的外角
　　∴∠DAF=∠B +∠ADE
　　∴∠EAD = ∠ ADE
　　∴AE = ED = AB②
　　将①②代入CD = CE + ED 得：
　　∴ CD = AC + AB