Question

已知函数f(x)=-(2^x)/[(2^x)+1].

(1)用定义证明函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数
(2)求函数f(x)的值域
(3)若g(x)=a/2+f(x),且当x∈[1,2]时g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=-(2^x)/[(2^x)+1].
(1)用定义证明函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数
x1>x2
f(x1)-f(x2)=-2^x1/(2^x1+1)+2^x2/(2^x2+1)
=1-1/(2^x2+1)-1+1/(2^x1+1)
=1/(2^x1+1)-1/(2^x2+1)
=[(2^x2+1)-(2^x1+1)]/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
2^x2-2^x1<0 (2^x1+1)(2^x2+1)>0
f(x1)-f(x2)<0
(x)在(-∞，+∞)上为减函数

(2)求函数
f(x)=-2^x/(2^x+1)
=1/(2^x+1)-1
0<2^x
0<1/(2^x+1)<1
f(x)的值域(-1,0)

(3)若g(x)=a/2+f(x),且当x∈[1,2]时g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围
g(x)=a/2+f(x)=a/2+1/(2^x+1)-1
x=2时g(2)是g(x)在x∈[1,2]上的最小值
g(2)=a/2+1/5-1≥0
a≥8/5