Question

设矩阵A=aaT bbT,这里a,b为n维向量.证明:(1)R(A)<=2；（2）当a，b线性相关时，R(A)<=1

Answer 1

(1) r(A) <= r(aa^T) + r(bb^T) <= r(a) + r(b) <= 1+1 = 2

(2) 当 a,b线性相关时, 其中一个可由另一个线性表示

不妨设 a=kb

则 A = (kb)^T(kb) + bb^T = (1+k^2)bb^T

所以 r(A) <= r(bb^T) <= r(b) <=1

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

扩展资料

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

Answer 2

设a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T
计算得A= a1b1(a1b1+a2b2+a3b3) a1b2(a1b1+a2b2+a3b3) a1b3(a1b1+a2b2+a3b3)
a2b1(a1b1+a2b2+a3b3) a2b2(a1b1+a2b2+a3b3) a2b3(a1b1+a2b2+a3b3)
a3b1(a1b1+a2b2+a3b3) a3b2(a1b1+a2b2+a3b3) a3b3(a1b1+a2b2+a3b3)
计算得其行列式=0,所以R（A）<=2
当a,b线性相关时，不妨设b=ka,则bi=ai,i=1,2,3
代入A得,A=k(a1b1+a2b2+a3b3) D,其中
D=a1^2 a1a2 a1a3
a2a1 a2^2 a2a3
a3a1 a3a2 a3^2
D的各行成比例，所以R（D）=1，所以R（A）=R（D）=1

Answer 3

题目有问题，不管什么情况下，都是R(A)<=1.
也许你的题目中的矩阵A应该是：
A=aaT+bbT

追问

我打错了，你说的对，帮忙想一下

追答

(1)因为a,b都是向量，所以R(a)<=1,R(b)<=1
又由矩阵乘积的秩不超过每一个因子的秩，和的秩不超过秩序的和。
故R(aaT)<=R(a)<=1,R(bbT)<=R(b)<=1

所以R(A)=R(aaT+bbT)<=R(aaT)+R(bbT)<=2.

(2) 当a，b线性相关时,b可以表示为b=ka,(k为常数）
所以A=aaT+bbT=(k^2+1)aaT
所以R(A)=R((k^2+1)aaT)=R(aaT)<=1。

Answer 4