Question

如图 已知三角形ABC为等边三角形,D,E分别为BC,AC上的点,且CD=AE AD,BE相交于点P

BQ垂直于AD于PQ在数量上有怎样的关系，说明理由

Answer 1

解：∵AE=CD，AC=BC，
∴EC=BD；
又∵∠C=∠ABC=60°，AB=BC，
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABC+∠EBC=60°，则∠ABC+∠BAD=60°，
∵∠BDQ是△ABD外角，
∴∠ABC+∠BAD=60°=∠BDQ，
又∵BQ⊥AD∠BDQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

Answer 2

∵ΔABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，∵CD=AE， ∴Δ ABE≌ΔACD，
∴∠ABE=∠CAD，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAQ=∠CAD+∠BAQ=∠BAC=60 °，∵BQ⊥AQ,
∴∠PBQ=30 °,∴BP=2PQ,BQ=√3PQ

Answer 3

BP＝2PQ
证明：
∵等边△ABC
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60
∵AE＝CD
∴△ABE≌△CAD （SAS）
∴∠ABE＝∠CAD
∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60
∵BQ⊥AD
∴BP＝2PQ

Answer 4

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠C=∠ABC=60°，
∵AE=CD，
∴EC=BD；
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．