Question

求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值

Answer 1

解1：
y=2的2x次方-2的x-1次方+1
y=2^(2x)-2^(x-1)+1
y=(2^x)^2-(2^x)/2+1
令：2^x=m，代入上式，有：
y=m^2-m/2+1
y'=2m-1/2
令：y'＞0，即：2m-1/2＞0，解得：m＞1/4
即：m∈(1/4，∞)时，y为单调增函数；
令：y'＜0，即：2m-1/2＜0，解得：m＜1/4
即：m∈(-∞，1/4)时，y为单调减函数。
所以，当m=1/4时，y有最小值。
这个最小值是：y最小=(1/4)^2-(1/4)/2+1=15/16
即：所求最小值是15/16。

解2：
y=2的2x次方-2的x-1次方+1
y=2^(2x)-2^(x-1)+1
y=(2^x)^2-(2^x)/2+1
令：2^x=m，代入上式，有：
y=m^2-m/2+1
y=m^2-2×(1/4)×m+(1/4)^2-(1/4)^2+1
y=(m-1/4)^2-(1/4)^2+1
y=(m-1/4)^2+15/16
因为：(m-1/4)^2≥0
所以：y≥15/16
即：y的最小值是15/16。

追问

我明白了，可是y`是什么啊？

追答

y'是y的一次导数。

Answer 2

令a=2^x
则2^(x-1)=2^x/2=a/2
y=a²-a/2+1
=(a-1/4)²+15/16

a=2^x>0
所以a=1/4，最小是15/16

追问

能说的细致一点吗？为什么是2*x/2？？

追答

2^(x-1)=2^x/2

这都不懂啊？
别问了

Answer 3

利用基本不等式,就可以解了,
因为:x>1,则有x-1>0,
y=(2x^2-x+1)/(x-1)
=[2(x-1)^2+3(x-1)+2]/(x-1)
=2(x-1)+3+2/(x-1).
≥3+2√[2(x-1)*2/(x-1)]=3+2*2=7.
即,x>1求函数y=(2x^2-x+1)/x-1的最小值是:7.