Question

若tan(4/π-θ)=1/2,θ属于(π,2π),则sinθ+cosθ=

如何确定cosθ的正负？

Answer 1

解：∵tan(π/4-θ)=1/2
==>(tan(π/4)-tanθ)/(1+tan(π/4)*tanθ)=1/2 (应用差角公式)
==>(1-tanθ)/(1+tanθ)=1/2
∴tanθ=1/3
∵θ属于(π,2π)，tanθ=1/3>0
==>θ属于(π,3π/2)，即θ在第三象限
==>secθ>0
∴secθ=√(1+(tanθ)^2)=√10/3
故sinθ+cosθ=(sinθ/cosθ+1)/(1/cosθ) (分子分母同除cosθ)
=(tanθ+1)/secθ
=(1/3+1)/(√10/3)
=2√10/5。

追问

为什么θ属于(π,2π)，tanθ=1/3>0 就可以推出θ属于(π,3π/2)

追答

∵θ属于(π,2π)
∴θ属于第三象限或第四象限
∵tanθ=1/3>0

∴θ属于第一象限或第三象限（正切在第一象限或第三象限才是正值）
故θ一定属于第三象限，也就是θ属于(π,3π/2)

即由θ属于(π,2π)，tanθ=1/3>0 就可以推出θ属于(π,3π/2)。