Question

已知△ABC的三个角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，已知△ABC的周长为6，向量▏BC▕，▏CA▕,▏AB▕

已知△ABC的三个角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，已知△ABC的周长为6，向量▏BC▕，▏CA▕,▏AB▕成等比数列，求﹙1﹚∠B的取值范围；﹙2﹚边b的取值范围；﹙3﹚向量BA×向量BC的最小值

Answer 1

a+b+c=6
向量▏BC▕，▏CA▕,▏AB▕成等比数列,即a、b、c成等比数列则有：b^2=ac
根据余弦定理：cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2ac=[(6-b)^2-b^2]/2b^2-1
即：cosB=18/b^2-6/b^2-1
由于：b<a+c 则b<6-b；即b<3;
由于b>|a-c| 则有：b^2>(a-c)^2=(6-b)^2-4ac
化简后：b^2+3b-9>0由于b>0;解得：b>1.85
故有：1.85<b<3;
令x=1/b;
令f(x)=cosB=18x^2-6x-1, 1/3<x<1/1.85
则f(x)'=36x-6>0, 1/3<x<1/1.85
故在1/3<x<1/1.85，f(x)单调增，则可求出cosB的范围，然后就可求出∠B的范围，
向量BA×向量BC的最小值即ac的最小值，即b^2最小值即1.85^2