Question

x趋于0，tan2x/tanx等于

Answer 1

解：limx->0 tan2x/tanx = 2

为了更好地解释这题，我会从三个方面来切入。

第一，洛必达法则。

因为，当x->0时，tan2x和tanx都是趋于0，所以用洛必达法则。

原式=limx->0 2(sec2x)^2/(secx)^2 = 2*1/1=2。

第二，等价无穷小替换。

当x->0时，tan2x和2x是等价无穷小，tanx和x是等价无穷小，

所以原式=limx->0 2x/x = 2。

第三，泰勒公式。

当x->0时，tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835++[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!+.(|x|<π/2)

由于这里只是求x趋于0时，tan2x和tanx的比值，

所以tan2x=2x+o(x),tanx=x+o(x),这里o(x)是x的等价无穷小。

所以原式=limx->0 2x/x = 2。

        一些浅见：等价无穷小替换的根源是泰勒公式，第二种和第三种方法是一个意思，但是单独写出来的原因是在做一些计算比较简单的题目是可以直接利用等价无穷小替换，利用泰勒公式还是比较麻烦的。

Answer 2

Answer 3

利用等价无穷小,x→0,tan2x~2x,tanx~x.结果为2

Answer 4

x趋于0，
lim tan2x/tanx=lim 2x/x=2

Answer 5

Desmos