Question

高等数学 求指点 求( n! / n^n )^( 1/n ) 的 极限。

网上的回答：

Xn=(n!/n^n)^(1/n)
两边取对数，
lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))
上式可看成 f(x)=lnx 在[0，1]上的一个积分和。即对[0，1]
区间作n等分，每个小区间长1/n。

########## 我个人觉得下面这里不太对～～～，怎么是定积分？？ 求高人指导～～

因此当n趋于无穷时，lnXn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定积分。

lnx在[0，1]上的定积分为-1

所以 lnXn在n趋于无穷时的极限为-1。
由于 Xn=e^(lnXn),
于是 Xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

主要是取对数运用Stolz公式，这个公式特别好用，如果想考研或者参加数学竞赛可以看看

公式分两种情况这是第一种无穷比无穷型

Answer 3

这个做法是不严谨的
如果f(x)在[0,1]上Riemann可积，那么那个求和确实可以看作Riemann和
这里的问题在于lnx在[0,1]上不是Riemann可积的，不能直接把求和的极限转化为积分

追问

好的吧，话说我刚刚在看高数上。 貌似 这个情形 符合 （无界函数的反常积分 同济6上p257-258）【也可以使用 牛顿-莱布尼茨 公式】 ，这样的话，应该 证明就没太大问题了吧。
；再结合 这个答案：∫ [0,1] lnx dx=xlnx [0,1]-∫ [0,1] x*(1/x) dx=0-∫ [0,1] 1 dx=-1；因为lim (x趋于0+) xlnx=lim (x趋于0+) lnx/x^(-1)=lim (x趋于0+) -(1/x)/x^(-2)=lim (x趋于0+) -x=0 @电灯剑客 你觉得这样证明怎么样？

追答

我已经说了，这个求和不可以直接转化到∫ [0,1] lnx dx，无界函数的反常积分是由Riemann积分的极限来得到的，如果按Riemann和来看就是(Riemann和的极限)的极限，你不能随意的把两个极限运算交换。
我在评论里给你写了如何用积分来证明，你可以理解成这是对该方法的修正，但不代表原来的证明本身是合理的。

追问

实在不好意思再烦您最后一次， 我想说 \int_0^1 lnx dx <= Sum(n) <= \int_{1/n}^1 lnx d 这个式子我看不懂！ 方便解释一下么？？

Answer 4

是定积分
因为你看积分和的点是1/n,2/n,,,n/n
是[0,1]上的点
所以那个加和就是逼近[0,1]上的定积分

追问

那积分区间怎么取？

追答

lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))

你看那些lnx的点
是1/n,2/n,...,n/n
令n->无穷就是从0到1
所以积分区间是0到1

Answer 5

????????