Question

在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．（1）求证：DQ=CP；（2）

在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．（1）求证：DQ=CP；（2）OP与OQ有何关系？试证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD中，∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°， 又∵DP⊥AQ， ∴∠DAQ+∠ADP=90°， ∴∠DAQ=∠PDC， ∵在△ADQ和△CDP中， ∠DAQ=∠PDC AD=DC ∠ADQ=∠DCP ， ∴△ADQ≌△CDP（ASA）， ∴DQ=CP； （2）OP=OQ且OP⊥OQ． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ODQ=∠OCP， ∵在△OCP和△ODQ中， OD=OP ∠ODQ=∠OCP DQ=CP ∴△OCP≌△ODQ（SAS）， ∴OP=OQ，且∠DOQ=∠POC 又∵∠DOC=90°， ∴∠QOP=90°， 则OP⊥OQ．