Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1 =1，点P（b n ，b n+1

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1 =1，点P（b n ，b n+1 ）在直线 上。（1）求a 1 和a 2 的值； （2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n项和T n .

Answer 1

解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2        ∴a 1 =S 1 =2a 1 -2， 解得a 1 ="2"         a 1 +a 2 =S 2 =2a 2 -2，解得a 2 ="4" （2）∵S n =2a n -2，S n-1 =2a n-1 -2，又S n —S n-1 =a n ，  ∴a n =2a n -2a n-1 ，  又a n ≠0， ∴ ，即数列{a n }是等比数列   ∵a 1 =2，∴a n =2 n     ∵点P(b n ，b n+1 )在直线x-y+2=0上，∴b n -b n+1 +2=0， ∴b n+1 -b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1 =1，∴b n =2n-1，   （3）∵c n =(2n-1)2 n       ∴T n =a 1 b 1 + a 2 b 2 +····a n b n =1×2+3×2 2 +5×2 3 +····+(2n-1)2 n ， ∴2T n =1×2 2 +3×2 3 +····+(2n-3)2 n +(2n-1)2 n+1 则   -T n =1×2+(2×2 2 +2×2 3 +···+2×2 n )-(2n-1)2 n+1 ， 即：-T n =1×2+(2 3 +2 4 +····+2 n+1 )-(2n-1)2 n+1 ， ∴T n =(2n-3)2 n+1 +6

略