Question

已知{a n }是等差数列，其前n项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1 =b 1 =2，a 4 +b 4 =27，S 4 -b 4 =10

已知{a n }是等差数列，其前n项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1 =b 1 =2，a 4 +b 4 =27，S 4 -b 4 =10。（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）记T n =a n b 1 +a n-1 b 2 +…+a 1 b n ，n∈N*，证明：T n +12=-2a n +10b n （n∈N*）。

Answer 1

解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由a 1 =b 1 =2，得a 4 =2+3d，b 4 =2q 3 ，S 4 =8+6d， 由条件a 4 +b 4 =27，S 4 -b 4 =10， 得方程组 ，解得 ， 故a n =3n-1，b n =2 n ，n∈N*。 （2）由（1）得，T n =2a n +2 2 a n-1 +2 3 a n-2 +…+2 n a 1 ；  ①； 2T n =2 2 a n +2 3 a n-1 +…+2 n a 2 +2 n+1 a 1 ；  ②； 由②-①得，T n =-2（3n-1）+3×2 2 +3×2 3 +…+3×2 n +2 n+2 = +2 n+2 -6n+2 =10×2 n -6n-10； 而-2a n +10b n -12=-2（3n-1）+10×2 n -12=10×2 n -6n-10； 故T n +12=-2a n +10b n （n∈N*）。