Question

磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具，它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为

磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具，它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为 R ，金属框置于 xOy 平面内，长边 MN 为 l 平行于 y 轴，宽为 d 的 NP 边平行于 x 轴，如图l所示。列车轨道沿 Ox 方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度 B 沿 O x 方向按正弦规律分布，其空间周期为 λ ，最大值为 B 0 ，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度 v 0 沿 Ox 方向匀速平移。设在短暂时间内， MN 、 PQ 边所在位置的磁感应强度随时问的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿 Ox 方向加速行驶，某时刻速度为 v （ v ＜ v 0 ）（1）简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；（2）为使列车获得最大驱动力，写出 MN 、 PQ 边应处于磁场中的什么位置及 λ 与 d 之间应满足的关系式；（3）计算在满足第（2）问的条件下列车速度为 v 时驱动力的大小。

Answer 1

（1）由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。　 （2 d ＝(2 k ＋1) 或 λ =  ( k ∈ N )　　　　（3）　 F ＝

（l）由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。 （2）为使列车得最大驱动力， MN 、 PQ 应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大。因此， d 应为 的奇数倍，即 　　　　　　　　 d ＝(2 k ＋1) 或 λ =  ( k ∈ N )　　　　　　　　　　　① （3）由于满足第（2）问条件，则 MN 、 PQ 边所在处的磁感就强度大小均为 B 0 且方向总相反，经短暂时间Δ t ，磁场沿 Ox 方向平移的距离为 v 0 Δ t ，同时，金属框沿 Ox 方向移动的距离为 v Δ t 。 　　因为 v 0 ＞ v ，所以在Δ t 时间内 MN 边扫过的磁场面积 　　　　　　　　 S ＝( v 0 － v ) l Δ t 　　在此Δ t 时间内， MN 边左侧穿过S的磁通移进金属框而引起框内磁通量变化 　　　　　　　　 ＝ B 0 l ( v 0 － v )Δ t 　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　同理，该Δ t 时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化 　　　　　　　　 ＝ B 0 l ( v 0 － v )Δ t 　　　　　　　　　　　　　　　　　③ 　　故在内金属框所围面积的磁通量变化 　　　　　　　　 ＝ ＋ 　　　　　　　　　　　　　　　　④ 　　根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小 　　　　　　　　 E ＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤ 　　 　　根据闭合电路欧姆定律有 　　　　　　　　 I ＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑥ 根据安培力公式， MN 边所受的安培力 　　　　　 F MN ＝ B 0 Il PQ 边所受的安培力 　　　　 　 F PQ ＝ B 0 Il 根据左手定则， MN 、 PQ 边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小 　　　　　 F ＝ F MN ＋ F PQ ＝2 B 0 Il 　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦ 联立解得 　　　　　 F ＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　⑧