Question

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时有f(x1)+2x1?[f(x2)+2x2]x1?x2＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)＝2x?3+

1

x

．
∵f′（1）=0，f（1）=-2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=-2；
（Ⅱ）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′(x)＝2ax?(a+2)+

1

x

＝

2ax2?(a+2)x+1

x

，（x＞0）．
令f′（x）=0，即f′(x)＝

2ax2?(a+2)x+1

x

＝

(2x?1)(ax?1)

x

＝0．
∴x＝

1

2

或x＝

1

a

．
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)＝?2，不合题意；
当

1

a

≥e时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意．
综上，a≥1；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
由题意可知只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．
而g′(x)＝2ax?a+

1

x

＝

2ax2?ax+1

x

．
当a=0时，g′(x)＝

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增； 
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，则需要a＞0，
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x＝

1

4

＞0，
只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．
综上0≤a≤8．