Question

已知函数f（x）=ax+1x+（1-a）lnx．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若a≤0，讨

已知函数f（x）=ax+1x+（1-a）lnx．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若a≤0，讨论函数求f（x）的单调性；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=ax在（0，1）上有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x+

1

x

-lnx，f′（x）=2-

1

x2

-

1

x

，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=3．
（Ⅱ）f′（x）=a-

1

x2

+

1?a

x

=

ax2+(1?a)x?1

x2

  （x＞0），
①当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
若a≠0，f′（x）=

ax2+(1?a)x?1

x2

=0，解得x=1或x=-

1

a

，
②当-1＜a＜0时，f（x）在（0，1）和（-

1

a

，+∞）单调递减，在（1，-

1

a

）单调递增；
③当a=-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜-1时，f（x）在（0，-

1

a

）和（1，+∞）单调递减，在（-

1

a

，1）单调递增；
（Ⅲ）当f（x）=ax时，

1

x

=（1-a）lnx=0，∴a=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），
令g（x）=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），g′（x）=

?(lnx+1)

(xlnx)2

=0，解得x=

1

e

．
∴当x=

1

e

时，g（x）有极大值1-e，
∴实数a的取值范围是（-∞，1-e）．