Question

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1+2x1＜f（x2）+2x2）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，
因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程是y=-2；
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2?(a+2)x?1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

2ax2?(a+2)x?1

x

=

(2x?1)(ax?1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

，
①当a＞2时，令f′（x）＞0得，x＞

1

2

或0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0得

1

a

＜x＜

1

2

，
②当a=2时，f′（x）≥0恒成立，
③当0＜a＜2时，令f′（x）＞0得，x＞

1

a

或0＜x＜

1

2

，f′（x）＜0得

1

2

＜x＜

1

a

，
④a＜0时，令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

，f′（x）＜0得x＞

1

2

，
所以当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，

1

a

），（

1

2

，+∞）单调减区间为（

1

a

，

1

2

）；
当a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，f（x）在（0，

1

2

），（

1

a

，+∞）上单调递增，在（

1

2

，

1

a

）上单调递减；
当a≤0时，f（x）在（0，

1

2

）上单调递增，（

1

2

，+∞）上单调递减．
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可，
而g′（x）=2ax-a+

1

x

=

2ax2?ax+1

x

，
当a=0时，g′（x）=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，即0＜a≤8，
综上，0≤a≤8．