Question

设函数f（x）=lnx-x2+ax（a∈R）．（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 设g（x）=xex，若对于任意给定

设函数f（x）=lnx-x2+ax（a∈R）．（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 设g（x）=xex，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1e＝g(x0)在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

解答：（Ⅰ） f′(x)＝

1

x

?2x+a＝

?2x2+ax+1

x

，
由f'（x）=0，得-2x²+ax+1=0，该方程的判别式△=a²+8＞0，
可知方程-2x²+ax+1=0有两个实数根

a± a2+8

4

，又x＞0，故取x＝

a+ a2+8

4

，
当x∈(0，

a+ a2+8

4

)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈(

a+ a2+8

4

，+∞)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
则函数f（x）的单调递增区间是(0，

a+ a2+8

4

)；递减区间是(

a+ a2+8

4

，+∞)．
（Ⅱ）g′(x)＝

1?x

ex

，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e）时，
g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，知函数g（x）在区间（0，e）上的极大值为g(1)＝

1

e

，
也为该区间上的最大值，于是函数g（x）在区间（0，e]的值域为(0，

1

e

]．
令F(x)＝f(x)+

1

e

，则F′(x)＝f′(x)＝

?2x2+ax+1

x

，
由F'（x）=0，结合（Ⅰ）可知，方程F'（x）=0在（0，∞）上有一个实数根x₃，
若x₃≥e，则F（x）在（0，e]上单调递增，与在（0，e]内有两个不同的实数根相矛盾，不合题意，可知F'（x）=0在（0，e]有唯一的解x3＝

a+ a2+8

4

，
且F（x）在(0，

a+ a2+8

4

)上单调递增；在(

a+ a2+8

4

，+∞)上单调递减．
因为?x₀∈（0，e]，方程f(x)+

1

e

＝g(x0)在（0，e]内有两个不同的实数根，所以F（e）≤0，且F(x)max＞

1

e

．
由F（e）≤0，即lne?e2+ae+

1

e

≤0，解得a≤

e3?e?1

e2

．
由F(x)max＝f(x3)+

1

e

＞

1

e

，即f（x₃）＞0，lnx3?

x

2 3

+ax3＞0，
因为?2

x

2 3

+ax3+1＝0，所以a＝2x3?

1

x3

，代入lnx3?

x

2 3

+ax3＞0，得lnx3+

x

2 3

?1＞0，
令h（x）=lnx+x²-1，∴h′（x）=

1

x

+2x在（0，e]上恒正，∴h（x）=lnx+x²-1在（0，e]上递增，
∵h（1）=0，∴h（x₃）＞h（1）=0，∴1＜x₃＜e，∵a＝2x3?

1

x3

单调递增，∴1＜a＜2e?

1

e

，
综上，实数a的取值范围是（1，

e3?e?1

e2

]