Question

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-

1

x

又a≥0，
故当a=0时，f′（x）=

bx?1

x

若b=0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜

1

b

，即函数在（0，

1

b

）上是减函数，在（

1

b

，+∞）上是增函数、
所以函数的单调递减区间是（0，

1

b

），单调递增区间是（

1

b

，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax²+bx-1=0
由于△=b²+8a＞0，故有
x₂=

?b+ b2+8a

4a

，x₁=

?b? b2+8a

4a

显然有x₁＜0，x₂＞0，
故在区间（0，

?b+ b2+8a

4a

）上，导数小于0，函数是减函数；
在区间（

?b+ b2+8a

4a

，+∞）上，导数大于0，函数是增函数
综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，

1

b

），单调递增区间是（

1

b

，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，

?b+ b2+8a

4a

），单调递增区间是（

?b+ b2+8a

4a

，+∞）
（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，
由（1）知，

?b+ b2+8a

4a

是函数的唯一极小值点故

?b+ b2+8a

4a

=1
整理得2a+b=1，即b=1-2a
令g（x）=2-4x+lnx，则g′（x）=

1?4x

x

令g′（x）=

1?4x

x

=0得x=

1

4

当0＜x＜

1

4

时，g′（x）＞0，函数单调递增；
当

1

4

＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减
因为g（x）≤g（

1

4

）=1-ln4＜0
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b