Question

如图所示，一块质量为M，长为L的均质长木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的小物体（可

如图所示，一块质量为M，长为L的均质长木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的小物体（可视为质点），物体上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌边的定滑轮．某人以恒定的速率v向下拉绳，物体最多只能到达板的中点，已知整个过程板的右端都不会到达桌边定滑轮处．试求：（1）当物体刚达木板中点时木板的位移；（2）若木板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面之间的动摩擦因数应满足什么条件？

Answer 1

（1）m与M相对滑动的过程中，m匀速运动，有：vt=S₁        
M匀加速运动，有：

vt

2

=S₂      
根据题干的条件有：S₁-S₂=

L

2

      
联立以上三式得：S₂=

L

2

（2）设m与M之间摩擦因数为μ₁，当桌面光滑时有：mgμ₁=Ma₁…①
v²=2a₁S₂…②
由①②③得：μ1＝

Mv2

gmL

…③
如果板与桌面有摩擦，因为M与桌面摩擦因数越大，m越易从右端滑下，所以当m滑到M右端两者刚好共速时摩擦因数最小，设为μ₂
对M有：Ma₂=mgμ₁-（m+M）gμ₂ …④

v

2

t′＝s2′…⑤
v²=2a₂s'₂…⑥
对m有：vt'=s'₁…⑦
s'₁-s'₂=L…⑧
联立③④⑤⑥⑦⑧得：μ2＝

Mv2

2(m+M)gL

所以桌面与板间的摩擦因数应满足：μ2≥

Mv2

2(m+M)gL

答：（1）当物体刚达木板中点时木板的位移为

L

2

．
（2）若木板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面之间的动摩擦因数应满足μ2≥

Mv2

2(m+M)gL