Question

若函数f(x)=loga(x)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a= 详细过程？

Answer 1

首先要讨论函数f(x)=loga(x)的单调性，然后才能得到最大值和最小值。
当a>1时，函数f(x)=loga(x)在区间[a,2a]单调递增，最大值和最小值分别为f(2a)和f(a).
所以f(2a)=3f(a) 即loga(2a)=3loga(a),所以loga2+loga(a)=3loga(a),loga2=2，所以a²=2，a=根号2.
当0<a<1时，函数f(x)=loga(x)在区间[a,2a]单调递减，最大值和最小值分别为f(a)和f(2a).
所以f(a)=3f(2a) 即loga(a)=3loga(2a),所以3(loga2+loga(a))=loga(a),loga2=-2/3，
所以a^(-2/3)=2，a=2^(-3/2)=(根号2)/4