Question

已知函数f(x)=x²+4x+3,用定义证明函数f(x)在区间[﹣2,﹢∞﹚上是增函数.

Answer 1

证明：首先验证区间[﹣2,﹢∞﹚为函数的定义域，很明显。
设x1>x2>=-2（大于等于-2），(因x1,x2不好书写，取x1=a,x2=b)，
f(x1)-f(x2)=f(a)-f(b)
=(a²+4a+3)-(b²+4b+3)
=a²+4a-b²-4b
=(a²-b²)+4(a-b)
=(a-b)(a+b)+4(a-b)
=(a-b)(a+b+4)
a-b>0，a+b+4>-2-2+4=0
即对于区间内自变量，自变量增大函数值增加，
所以f(x)=x²+4x+3为区间[﹣2,﹢∞﹚上的增函数

Answer 2

f(x)=x²+4x+3=(x+2)²-1，当x∈[－2，∞）]时x+2≥0且单调增，所以f(x)在[－2，∞）上是增函数。

Answer 3

设x2＞x1＞-2
f(x2)-f(x1)
=x2²+4x2+3-x1²-4x1-3
=x2²-x1²+4x2-4x1
=(x2+x1)(x2-x1)+4(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1+4)

因为x2＞x1＞-2，所以x2-x1＞0，x2+x1+4＞0
即 f(x2)-f(x1)＞0

所以函数f(x)在区间[﹣2,﹢∞﹚上是增函数。