Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，线段OF 1 ，OF 2 的

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，线段OF 1 ，OF 2 的中点分别为B 1 ，B 2 ，且△AB 1 B 2 是面积为4的直角三角形。 （1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B 1 作直线交椭圆于P，Q两点，使PB 2 ⊥QB 2 ，求△PB 2 Q的面积。

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为 ，F 2 （c，0） ∵△AB 1 B 2 是直角三角形，|AB 1 |=|AB 2 |， ∴∠B 1 AB 2 为直角， 从而|OA|=|OB 2 |， 即 ∵c 2 =a 2 -b 2 ， ∴a 2 =5b 2 ，c 2 =4b 2 ， ∴ 在△AB 1 B 2 中，OA⊥B 1 B 2 ， ∴S= |B 1 B 2 ||OA|= ∵S=4， ∴b 2 =4， ∴a 2 =5b 2 =20 ∴椭圆标准方程为 ； （2）由（1）知B 1 （-2，0），B 2 （2，0）， 由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程， 消元可得（m 2 +5）y 2 -4my-16-0① 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ）， ∴ ， ∵ ， ∴ = ∵PB 2 ⊥QB 2 ， ∴ ∴ ， ∴m=±2当m=±2时，①可化为y 2 ±8y-16-0， ∴|y 1 -y 2 |= = ∴△PB 2 Q的面积S= |B 1 B 2 ||y 1 -y 2 |= ×4× = 。