Question

如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=130°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC

如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=130°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．（1）判断△COD的形状，并加以说明理由．（2）若AD=1，OC=2，OA=3时，求α的度数．（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

证明：（1）∵△ADC≌△BOC，
∴CO=CD，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠DCO=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）∵AD=1，OC=

2

，OA=

3

∴OA²=AD²+OC²
∴△AOD是直角三角形
∴∠ADO=90°
∴α=360°-130°-90°=140°
（3）解：∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-130°-∠α-60°=170°-∠α，
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°，
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（170°-∠α）=70°，
若∠ADO=∠AOD，即∠α-60°=170°-∠α，
解得：∠α=115°；
若∠ADO=∠OAD，则∠α-60°=70°，
解得：∠α=130°；
若∠OAD=∠AOD，即70°=170°-∠α，
解得：∠α=100°；
即当α为100°、130°、115°时，△AOD为等腰三角形．
故答案为：（1）略（2）140°，（3）100°、130°、115°