根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数
1个回答
展开全部
证明：证法一：在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
证法二：在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）．
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
∵x1，x2不同时为零，
∴x12+x22＞0．
又∵x12+x22＞
（x12+x22）≥|x1x2|≥-x1x2
∴x12+x1x2+x22＞0，
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）．
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
证法二：在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）．
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
∵x1，x2不同时为零，
∴x12+x22＞0．
又∵x12+x22＞
| 1 |
| 2 |
∴x12+x1x2+x22＞0，
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）．
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
