Question

请教两道高数题

第一题：

为什么右连续就 b = -1 啊？还有，单调非减 b = 0 行不行？

第二题

积分范围为什么是 0 到 2π ？还有，计算过程中的为什么可以将积分范围从 2π 缩小到 π/2 ？





Answer 1

   1.    随机变量X的分布函数F(x)实际上就是概率P(x)，也就是说随机变量落入（－∞，x）的概率，如果变量取值范围是实数集R,那么P(x)<1,也就是说F(x)<1,

      在上题中，若b=0，岂不F(0)=1了？理解？你说F(0)不一定等于0，是对的，但是F(0)绝不可以等于1.倘若F(0)=1，且随机变量落入（－∞，0）概率又是0.那就成了只有全落入x=1，不成随机变量。实际上F(x)应是连续函数，不应有跳跃，所以limX趋向0时F(X)=0.也就是说F(0)=0.

       不过确实说， 解答人有点投机行为，缺少了关键一步（limX趋向0时F(X)=0），没有认真安过程来。

      有问题问我。耐心解答。

 

 

   2.  2题中，实际上是一个关于坐标轴对称的曲线，我估计是解答人的疏忽把它写成（0,2π），如图。

 

 

追问

好的，谢谢，我懂了 ^_^

追答

按照连续型的来说，不可能跳跃。离散型可以跳跃。

Answer 2

第一题：当b=-1时，F(x)在x=0处连续，当然就是右连续的；当b=0时，F(x)在x=0处也是右连续的，但不是连续的。所以b=0也行。
第二题：这是一条椭圆星形线。题目要求一半（两段）星形线的弧长，t从0到Pi。而解答求出了整条（四段）星形线（封闭的一圈）的弧长，所以，t是从0到2Pi的。利用星形线的对称性，只用算一段就行了，再乘以2或4，就得到一半或整条星形线的弧长。

追问

我懂了，答案是b=-1没错，-1到0之间的值是不能取的，否则F(x)不连续，不符合连续型随机变量分布函数的要求，而b=0也是不可取的，因为那样一来x只能等于1，就连随机变量都不是了，谢谢你 ^_^

Answer 3

1、右连续要求 lim(x→0+) F(x) = F(0) ，
写出来就是 a+b/(0+1) = 0 ，前面已求出 a = 1 ，因此可得 b = -1 。
由单调非减可得 b ≤ 0 ，再由右连续得出 b = -1 。
2、条件中的范围应该是 [0，2π] ，印刷错误漏了 2 。
由于被积函数在四个象限的对称性，因此范围缩为原来的 1/4 ，相应的系数大为原来的 4 倍 。

追问

lim(x→0+) F(x) = F(0) 这个我知道
但是F(0)不一定等于0啊

追答

必须让它等于 0 ，因为它要与左边连起来。
随机变量 X 的概率分布函数 F(X) 在 R 上一定是处处连续的！

追问

随机变量的分布函数并需要处处连续，满足右连续即可，比如离散型随机变量的分布函数

追答

哦，是这样。
因为要求不减，因此在 x = 0 处的函数值不小于左极限，即 F(0) ≥ 0 ，所以 b ≥ -1 ，
又要求在 x > 0 上不减，因此 b < 0 ，
两相结合，得结果：-1 ≤ b < 0 。这是答案。

追问

现在我的疑问是b能否取-1到0之间的值？
我觉得不行
因为如果b不等于0的话意味着X为连续型随机变量，而连续性随机变量的F(x)必须是R上的连续函数，b取-1到0之间的值的话F(x)不是连续的
请问我这样的分析正确吗？
谢谢啦 ^_^

追答

从题目给出的定义域可以判断，该随机变量是连续型，
因此它的概率分布函数一定是处处连续的（你刚才把我绕蒙了^_^）！！
所以 F(0) = 0 ，因此 b = -1 。这确实是答案，书上没错。