Question

如图,已知等边△ABC和等边△BPE,点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM，下列结论：

①AP=CE ②∠PME=60° ③BM平分∠AME ④AM=MC=BM，其中正确的有（ ），并江正确的结论予以证明。

Answer 1

证明:∵BE=BP;BC=BA;∠EBC=∠PBA=60º.
∴⊿EBC≌⊿PBA(SAS).
∴点B到ME和AP的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等).
故BM平分∠AME.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
∵⊿EBC≌⊿PBA(已证).
∴∠BEC=∠MPC;又∠BCE=∠MCP.
∴∠PMC=∠EBC=60º(三角形内角和定理).
在MP上截取MN=MC,连接CN,则⊿CMN为等边三角形.
∴CN=CM;∠MCN=∠BCA=60º,得∠ACN=∠BCM;又BC=AC.
故⊿ACN≌⊿BCM(SAS),AN=BM,即AM+MN=AM+CM=BM.
从而：
①AP=CE 正确∴⊿EBC≌⊿PBA(SAS).
②∠PME=60°正确∴∠PMC=∠EBC=60º(三角形内角和定理)
③BM平分∠AM正确
④AM=MC=BM错误AM+CM=BM
正确的有（3）个