Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，求此时双曲线的离心率e的最大值

Answer 1

P点在双曲线右支上活动，
P点距左准线的距离等于|PF1|/e，P点距右准线的距离等于|PF2|/e，
两者之比等于|PF1|/|PF2|
∴当P点位于双曲线右支与x轴交点时，|PF1|/|PF2|取得最大值：|PF1|/|PF2|=(c+a)/(c-a)=(e+1)/(e-1)，（分子分母同除以一个a）
也就是说，当(e+1)/(e-1)＜4时，也有|PF1|/|PF2|＜4
于是，由题中|PF1|=4|PF2|，有(e+1)/(e-1)≥4
对于双曲线有e＞1，所以e+1≥4e-4，e≤5/3
所以为最大值为：5/3。

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