Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）

判断f（x）的奇偶性
这种题求奇偶性 的解题思路是什么 ？ 谢谢

Answer 1

由于是定义在R上的函数，则：
令x=y=0代入：f(0)=0f(0)+0f(0)=0
令x=y=1代入：f(1)=1f(1)+1f(1)=2f(1)，所以f(1)=0
令x=y=-1代入：f(1)=(-1)f(-1)+(-1)f(-1)=2f(-1)=0，所以f(-1)=0
设z=xy，即y=z/x (x≠0时)
f(z)=xf(z/x)+(z/x)f(x)
于是：f(-z)=f(-xy)=f((-x)y)=-xf(y)+yf(-x)=-xf(z/x)+(z/x)[-f(x)+xf(-1)]
=-xf(z/x)-(z/x)f(x)=-[xf(z/x)+(z/x)f(x)]=-f(z)
所以该函数是R上的奇函数