Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）= 3 2 - a x （x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ

已知函数f（x）=lnx，g（x）= 3 2 - a x （x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e 2f（x） =g（x）（其中e=2.71828…）在区间[ 1 2 ，1 ]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x）=lnx- 3 2 - 1 x ∴φ′（x）= 1 x + 1 x 2 ∵x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0 ∴函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增 ∴x=4时，φ（x） min =2ln2- 7 4 ； （2）方程e 2f（x） =g（x）可化为x 2 = 3 2 - a x ，∴a= 3 2 x -x 3 ， 设y= 3 2 x -x 3 ，则y′= 3 2 -3x 2 ， ∵x∈[ 1 2 ，1 ] ∴函数在[ 1 2 ， 2 2 ]上单调递增，在[ 2 2 ，1]上单调递减 ∵x= 1 2 时，y= 5 8 ；x= 2 2 时，y= 2 2 ；x=1时，y= 1 2 ， ∴y∈[ 1 2 ， 2 2 ] ∴a∈[ 1 2 ， 2 2 ]