Question

已知函数f（x）=x 2 -ax-aln（x-1）（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）求函数f（x）的单调

已知函数f（x）=x 2 -ax-aln（x-1）（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）函数f（x）=x 2 -ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞） 当a=1时，f（x）=x 2 -x-ln（x-1）， f ′ (x)=2x-1- 1 x-1 = 2x(x- 3 2 ) x-1 ， 当x∈ (1， 3 2 ) 时，f ′ （x）＜0， 所以f （x）在 (1， 3 2 ) 为减函数． 当x∈ ( 3 2 ，+∞) 时，f ′ （x）＞0， 所以f （x）在 ( 3 2 ，+∞) 为增函数， 则当x= 3 2 时，f（x）有极小值，也就是最小值． 所以函数f （x）的最小值为 f( 3 2 ) = 3 4 +ln2 ． （2） f ′ (x)=2x-a- a x-1 = 2x(x- a+2 2 ) x-1 ， 若a≤0时，则 a+2 2 ≤1 ，f（x）= 2x(x- a+2 2 ) x-1 ＞0在（1，+∞）恒成立， 所以f（x）的增区间为（1，+∞）． 若a＞0，则 a+2 2 ＞1 ，故当 x∈(1， a+2 2 ] ，f′（x）= 2x(x- a+2 2 ) x-1 ≤0， 当 x∈[ a+2 2 ，+∞) 时，f（x）= 2x(x- a+2 2 ) x-1 ≥0， 所以a＞0时f（x）的减区间为 (1， a+2 2 ] ，f（x）的增区间为 [ a+2 2 ，+∞) ．