Question

在平面直角坐标系xoy 中，点M 到两定点F 1 （-1，0）和F 2 （1，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹是曲线C

在平面直角坐标系xoy 中，点M 到两定点F 1 （-1，0）和F 2 （1，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹是曲线C．（1）求曲线C 的方程； （2）若直线l：y=kx+m 与曲线C 相交于不同两点A、B （A、B 不是曲线C 和坐标轴的交点），以AB 为直径的圆过点D（2，0），试判断直线l 是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）设M（x，y），由椭圆的定义可知，点M的轨迹C是以两定点F 1 （-1，0）和F 2 （1，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆 ∴短半轴长为 b= 2 2 - 1 2 = 3 ∴曲线C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ；    （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则 直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（3+4k 2 ）x 2 +8mkx+4（m 2 -3）=0 ∴x 1 +x 2 =- 8mk 3+4 k 2 ，x 1 x 2 = 4( m 2 -3) 3+4 k 2 ∴y 1 y 2 =（kx 1 +m）（kx 2 +m）= 3( m 2 -4 k 2 ) 3+4 k 2 ∵以AB为直径的圆过点D（2，0）， ∴k AD k BD =-1 ∴y 1 y 2 +x 1 x 2 -2（x 1 +x 2 ）+4=0 ∴ 3( m 2 -4 k 2 ) 3+4 k 2 + 4( m 2 -3) 3+4 k 2 + 16mk 3+4 k 2 +4=0 ∴7m 2 +16mk+4k 2 =0 ∴m=-2k或m=- 2k 7 ，均满足△=3+4k 2 -m 2 ＞0 当m=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾； 当m=- 2k 7 时，l的方程为y=k（x- 2 7 ），直线过点（ 2 7 ，0）， ∴直线l过定点，定点坐标为（ 2 7 ，0）．