Question

将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S= ?1≤i≤j≤5xixj．问：（1）当x1，x2，x3，x4，x5取

将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S= ?1≤i≤j≤5xixj．问：（1）当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；（2）进一步地，对任意1≤i，j≤5有.xi?xj .≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值．说明理由．

Answer 1

（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值． 
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2006，且使S=

?1≤i≤j≤5

xixj取到最大值，则必有|x_i-x_j|≤1（1≤i，j≤5）…（5分）     （*）
事实上，假设（*）不成立，不妨假设x₁-x₂≥2，则令x₁′_′=x₁-1，x₂′=x₂+1，x_i′=x_i （i=3，4，5），有x₁′+x₂′=x₁+x₂，x₁′?x₂′=x₁x₂+x₁-x₂-1＞x₁x₂．
将S改写成S=

?1≤i≤j≤5

xixj=x₁x₂+（x₁+x₂）（x₃+x₄+x₅）+x₃x₄+x₃x₅+x₄x₅
同时有 S′=x₁′x₂′+（x₁′+x₂′）（（x₃+x₄+x₅）+x₃x₄+x₃x₅+x₄x₅．
于是有S′-S=x₁′x₂′-x₁x₂＞0．
这与S在x₁，x₂，x₃，x₄，x₅时取到最大值矛盾．
所以必有|x_i-x_j|≤1，（1≤i，j≤5）．
因此当x₁=402，x₂=x₃=x₄=x₅=401时S取到最大值．            …（10分）
（2）当x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2006，且|x_i-x_j|≤2时，只有
（1）402，402，402，400，400；
（2）402，402，401，401，400；
（3）402，401，401，401，401；
三种情形满足要求．                                  …（15分）
而后两种情形是由第一组作x_i′=x_i-1，x_j′=x_j+1调整下得到的．
根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S=

?1≤i≤j≤5

xixj变大．
所以在x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=400时S取到最小值．…（20分）