Question

如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l 1 和l 2 ，l 1 交y轴正半轴于点A，l 2 交x轴正半轴于点C．（1

如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l 1 和l 2 ，l 1 交y轴正半轴于点A，l 2 交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由直线l 1 经过两点A（0，1），B（1，2），得l 1 的方程为x-y+1=0． 由直线l 2 ⊥l 1 ，且直线l 2 经过点B，得l 2 的方程为x+y-3=0． 所以，点C的坐标为（3，0）． （2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径． ①若l 1 ⊥y轴，则l 2 ∥ y轴，此时四边形OABC为矩形， |AC|= 5 ． ②若l 1 与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l 1 的斜率为k，则直线l 2 的斜率为 - 1 k ． 所以直线l 1 的方程为y-2=k（x-1），从而A（0，2-k）； 直线l 2 的方程为 y-2=- 1 k (x-1) ，从而C（2k+1，0）． 令 2-k＞0 2k+1＞0 解得 k∈(- 1 2 ，2) ，注意到k≠0，所以 k∈(- 1 2 ，0)∪(0，2) ． 此时|AC| 2 =（2-k） 2 +（2k+1） 2 =5k 2 +5＞5， |AC|＞ 5 ， 所以半径的最小值为 5 2 ． 此时圆的方程为 (x- 1 2 ) 2 +(y-1 ) 2 = 5 4 ．