Question

如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两

如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物．忽略小圆环的大小．（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）．在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量 M= 2 m 的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．（2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？

Answer 1

（1）重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大． 设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得 Mgh=2mg[ h 2 + (Rsinθ) 2 -Rsinθ ] 解得    h= 2 R （另解h=0舍去）． 所以重物M下降的最大距离为 2 R ． （2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为： a．两小环同时位于大圆环的底端． b．两小环同时位于大圆环的顶端． c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端． d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称． 设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图所示）． 对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T=mg对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反Tsinα=Tsinα’得α=α’，而α+α’=90°，所以a=45°