Question

已知数列{an}为等差数列，且a1=1，a5=5；设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-Sn．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的

已知数列{an}为等差数列，且a1=1，a5=5；设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-Sn．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=an?bn（n=1，2，3，…），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，
则b₁=2-S₁，
又S₁=b₁，所以b₁=1…（1分）
当n≥2时，由bn＝2?Sn，可得bn?bn?1＝?(Sn?

S

n?1

)＝?bn…（3分）
即

bn

bn?1

＝

1

2

，…（4分）
所以{bn}是以b1＝1为首项，

1

2

为公比的等比数列，于是bn＝

1

2n?1

．…（6分）
（Ⅱ）数列{a_n}为等差数列，公差d=1，得a_n=n…（8分）
从而cn＝an?bn＝n?

1

2n?1

，…（9分）
∴Tn＝1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n?1

1

2

Tn＝

1

2

+

2

22

+…+

n?1

2n?1

+

n

2n

∴

1

2

Tn＝1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n?1

?

n

2n

=

1(1? 1 2n )

1? 1 2

?

n

2n

=

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