Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n2+3n-2（n∈N*）．（1）求证：数列{an+2n}为等比数列，并求数列{an}

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n2+3n-2（n∈N*）．（1）求证：数列{an+2n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=Sn+n2an+2n，求数列{bn}的前n项和Bn；（3）若cn=1an?2，数列{cn}的前n项和Tn，求证Tn＜34．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵S_n=2a_n-n²+3n-2．
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1）²+3（n-1）-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1-2n+4，
∴a_n+2n+2[a_n-1+2（n-1）]，
又当n=1时，a₁=0，
∴{a_n+2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2n?2n．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得Sn＝2n+1-n²-n-2，
bn＝2?

n+2

2n

，
∴Bn＝2n?(

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

)，
设D_n=

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

，①
则2D_n=3+

4

2

+…+

n+1

2n?2

+

n+2

2n?1

，②
②-①，得D_n=3+

1

2

+…+

1

2n?1

?

n+2

2n

=4-

1

2n?1

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
∴B_n=2n-4+

n+4

2n

．
（Ⅲ）证明：当n=1时，T₁=

1

2

＜

3

4

，
当n≥2时，∵2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]，
∴2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]＞…＞2ⁿ（2²-4）=0，
∴c_n=

1

2n+2?2(n+2)

＜

1

2[2n+1?2(n?1)

=