Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c点P是BC上异于B、C的任一点，过P作AB的垂线与边AB及AC的延长线

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c点P是BC上异于B、C的任一点，过P作AB的垂线与边AB及AC的延长线分别交于R、Q．（1）设PC=x，△PQC、△PBR的面积分别为S1、S2，试用x、a、b、c表示S1+S2；（2）当点P在BC上移动时，问x取何值时，有S1+S2最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，∴

BP

AB

=

BR

BC

=

PR

AC

，即

a?x

c

=

BR

a

=

PR

b

，BR=

a(a?x)

c

，PR=

b(a?x)

c

，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴

QC

BC

=

PC

AC

，即

QC

a

=

x

b

，QC=

ax

b

，
∴S₁+S₂=

1

2

PC?QC+

1

2

BR?PR=

1

2

（x?

ax

b

+

ab(a?x)2

c2

）

（2）S₁+S₂=

1

2

PC?QC+

1

2

BR?PR=

1

2

（x?

ax

b

+

ab(a?x)2

c2

）=

acx2+ab2(a?x)2

2bc2

，
若使S₁+S₂取最小值，则有（a-x）²=0，即x=a，即点P运动到点B时，其值最小，
S₁+S₂=

acx2

2bc

=

a3

2b

．