Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求平面ABC和平面C1AB夹角的余弦值．

Answer 1

解答：（I）证明：设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点．

在△ABC₁中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC₁的中点，∴OD为△ABC₁的中位线，∴OD∥AC₁，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．…（6分）
（II）解：过C作CE⊥AB于E，连接C₁E．
∵CC₁⊥底面ABC，∴C₁E⊥AB．
∴∠CEC₁为二面角C₁-AB-C的平面角．
在△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，∴CE＝

12

5

在直角△CC₁E中，tan∠C₁EC=

4

12 5

＝

5

3

，∴cos∠C₁EC=

3

34

34

∴二面角C₁-AB-C的余弦值为

3

34

34

．…（12分）