Question

请问，如何判断一个函数是否存在原函数呢？用什么依据来判断？

最近对“函数可积”、“函数有原函数”存在疑惑，还请赐教哈，谢谢

Answer 1

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

扩展资料

定义域中含有第一类间断点和无穷间断点的函数都没有原函数，只有连续函数和存在非无穷型第二类间断点的函数存在原函数，同时关于是否存在原函数是针对区间来说的，例如函数f（x）=1/x，其在任意包含x=0的区间都没有原函数，但是在x>0或者x<0时，其存在原函数且等于Inx。

几何意义：设f(x)在[a，b]上连续,则由曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=x围成的曲边梯形的面积函数是f(x)的一个原函数.

物理意义：若t为时间，f(t)为作直线运动的物体的速度函数，则f(t)的原函数就是路程函数.

参考资料来源：百度百科-原函数

Answer 2

根据课本概念，
知道下列观点对你的理解会有帮助：
（1）可导的函数一定有原函数，（2）连续的函数一定可导。
（3）不定积分与函数求导是互逆的过程。
高数中毕竟不需要我们去证明一个函数是否存在原函数，因此知道上面的几个基本关系就够用了。

追问

谢谢啦，我发现考研资料上有这种题呀，
你说“（2）连续的函数一定可导。”，可是 f(x) = | x | 应该不可导吧？

追答

你说的是对的。上面的 “一定”改为一般合适些

Answer 3

可导的函数一定有原函数，连续的函数一定可导。不定积分与函数求导是互逆的过程。
高数中毕竟不需要我们去证明一个函数是否存在原函数，因此知道上面的几个基本关系就够用了。