Question

已知函数f(x)=lg(x+a/x-2),其中a为大于零的常数

已知函数f(x)=lg(x+a/x-2),其中a为大于零的常数
(1)求函数f（x）定义域
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值
（3）若对于任意X∈[0，+∞]恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围

Answer 1

1、f(x)=lg(x+a/x-2), 则有x+a/x-2>0，且x不等于0
所以 x²-2x+a)/x>0 →(x²-2x+a)x>0 →[(x-1)²+a-1]x>0
当x<0 (x-1)²>1 那么(x-1)²+a-1>0 不合题意
当x>0 [(x-1)²+a-1]x>0 (x-1)²+a-1>0
(x-1)²>1-a
当0<a≤1 1-a≥0 |x-1|>√（1-a ） x> 1+√（1-a ） 或0<x<1-√（1-a）
当a>1 1-a<0 得(x-1)²+a-1>0恒成立
所以 f（x）定义域
当0<a<1 （ 0，1-√(1-a))或(1+√(1-a)，+∞)
a>1时,定义域 为(0，+∞).
2）f(x)=lgx单调递增 令 g(x)=x+a/x-2
g′(x)=1-a/x²
当a∈（1，4）X∈[2，+∞]时 g′(x)>0
那么g(x)单调递增 所以f（x）在[2，+∞）上单调递增
函数f（x）在[2，+∞）上的最小值为
f(2)=lg(2+a/2-2)=lg(a/2)
3）由2）得当a∈（1，4）f（x）最小值为lg(a/2)
lg(a/2)>0 则a∈（2，4）
若a∈[4，+∞）令g′(x)=0 x=√a
f(x)的最小值为f(√a)=lg(2√a-2)>0 得a∈[4，+∞）
若a∈（0,1] g′(x)>0 g(x)单调递增
f（x）在[2，+∞）上单调递增
f（x）最小值 lg(a/2)>0 a∈（2，4）与假设a∈（0,1]矛盾
所以a 的取值范围为(2，+∞）

Answer 2

求函数f（x）定义域
就是解x+a/x-2>0
就是解（x+a）*（x-2）>0
又a>0
则解得x<-a,或x>2
就是定义域为（-∞，-a)和（2，+∞）

Answer 3

(3)设g(x)=[x+f(x)]/xe^x,h(x)=(x^2+x)g'(x)。求证：任意x∈(0,+∞),h(x)<4/3