数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=an2+an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=an2+an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设正整数数列{cn}满足an+1=（cn）...
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=an2+an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设正整数数列{cn}满足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求数列{cn}中的最大项；（Ⅲ）求证：Tn=1a41+1a42+1a43+…+1a4n＜1110．
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（Ⅰ）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an2①成立
∴2Sn?1＝an?1+
(n≥2)②
①-②得2an＝an+an2?an?1?an?12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2），
∴数列{an}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1＝a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（Ⅱ）解法一：由已知cn＞0，a2＝c12＝2?c1＝
，
a3＝
＝3?c2＝
，同理，c4＝
，c5＝
．
易得 c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)＝
，则f′(x)＝
＝
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由
∴2Sn?1＝an?1+
| a | 2 n?1 |
①-②得2an＝an+an2?an?1?an?12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2），
∴数列{an}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1＝a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（Ⅱ）解法一：由已知cn＞0，a2＝c12＝2?c1＝
| 2 |
a3＝
| c | 3 2 |
| 3 | 3 |
| 2 |
| 5 | 5 |
易得 c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)＝
| lnx |
| x |
| ||
| x2 |
| 1?lnx |
| x2 |
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由
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