已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左，右焦点分别为F1、F2．若在双曲线右支上存在一点P使|PF1|=4|PF2|
已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左，右焦点分别为F1、F2．若在双曲线右支上存在一点P使|PF1|=4|PF2|，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（...
已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左，右焦点分别为F1、F2．若在双曲线右支上存在一点P使|PF1|=4|PF2|，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）A．（1，53]B．（1，2]C．[53，2]D．[53，+∞）
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∵|PF1|=4|PF2|，
∴由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a，
∴|PF2|=
，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF2|≥c-a，
∴
≥c-a，
∴e=
≤
，
∵e＞1，
∴1＜e≤
，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，
]．
故选：A．
∴由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a，
∴|PF2|=
| 2a |
| 3 |
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF2|≥c-a，
∴
| 2a |
| 3 |
∴e=
| c |
| a |
| 5 |
| 3 |
∵e＞1，
∴1＜e≤
| 5 |
| 3 |
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，
| 5 |
| 3 |
故选：A．
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