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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;(2...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;(2)若PD∥平面EAC,PD=6,AD=2,求二面角B-AE-C的大小.
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解答:(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/cc11728b4710b9122258187ac0fdfc039345229d?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
又ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,
又AC?平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBD.
(2)解:∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PDB=OE,
∴PD∥OE,∴OE⊥平面ABCD,∴OE⊥OB,
又∵OA⊥OB,OA∩OB=O,∴OB⊥平面EAC,
过点B作BF⊥AE,垂足为F,连结OF,
∵AE⊥BF,AE⊥BO,BF∩BO=B,
∴AE⊥平面BFO,∴OF⊥AE,
∴∠BFO为二面角B-AE-C的一个平面角,
在△AOE中,OF=1,在Rt△BOF中,OF=OB=1,
∴∠BFO=45°.
∴二面角B-AE-C的大小为45°.
又ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,
又AC?平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBD.
(2)解:∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PDB=OE,
∴PD∥OE,∴OE⊥平面ABCD,∴OE⊥OB,
又∵OA⊥OB,OA∩OB=O,∴OB⊥平面EAC,
过点B作BF⊥AE,垂足为F,连结OF,
∵AE⊥BF,AE⊥BO,BF∩BO=B,
∴AE⊥平面BFO,∴OF⊥AE,
∴∠BFO为二面角B-AE-C的一个平面角,
在△AOE中,OF=1,在Rt△BOF中,OF=OB=1,
∴∠BFO=45°.
∴二面角B-AE-C的大小为45°.
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