Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）若PD∥平面EAC，PD=6，AD=2，求二面角B-AE-C的大小．

Answer 1

解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PDB=OE，
∴PD∥OE，∴OE⊥平面ABCD，∴OE⊥OB，
又∵OA⊥OB，OA∩OB=O，∴OB⊥平面EAC，
过点B作BF⊥AE，垂足为F，连结OF，
∵AE⊥BF，AE⊥BO，BF∩BO=B，
∴AE⊥平面BFO，∴OF⊥AE，
∴∠BFO为二面角B-AE-C的一个平面角，
在△AOE中，OF=1，在Rt△BOF中，OF=OB=1，
∴∠BFO=45°．
∴二面角B-AE-C的大小为45°．