Question

已知直线2ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形

已知直线2ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则1a2+2b2的最小值为______．

Answer 1

∵直线

2

ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，
∴|AB|=

2

r=

2

．
∴圆心O（0，0）到直线

2

ax+by=1的距离d=

1

2a2+b2

=

2

2

，化为2a²+b²=2．
∴

1

a2

+

2

b2

=

1

2

(2a2+b2)(

1

a2

+

2

b2

)=

1

2

(2+2+

b2

a2

+

4a2

b2

)≥

1

2

(4+2

b2 a2 ? 4a2 b2

)=4，当且仅当b²=2a²=1取等号．
∴

1

a2

+

2

b2

的最小值为 4．
故答案为：4．