Question

请高手看看这个微分方程如何求解

其中a,b,c为常数

Answer 1

解：分离变量法。
a*dv/dt+bv^3=c
a*dv/dt=c-bv^3
a*dv/(c-bv^3)=dt
-a/b*dv/(v^3-c/b)=dt
dv/(v^3-c/b)=-b/a*dt①
设c/b=r^3，即命r=(c/b)^(1/3)，则有
1/(v^3-c/b)=1/(v^3-r^3)=1/[(v-r)(v^2+rv+r^2)]
用待定系数法进行裂项：
令1/[(v-r)(v^2+rv+r^2)]=x/(v-r)+yv/(v^2+rv+r^2)+z/(v^2+rv+r^2)恒成立，则有
1=x(v^2+rv+r^2)+yv(v-r)+z(v-r)=(x+y)v^2+(rx-ry+z)v+(r^2*x-rz)恒成立。
令
x+y=0 ②
rx-ry+z=0 ③
r^2*x-rz=1 ④
可得关于x、y、z的三元一次方程组，联立可求出三个系数x、y、z。解得
x=1/(3r^2)
y=-1/(3r^2)
z=-2/(3r)
由①得
xdv/(v-r)+yvdv/[(v+r/2)^2+3r^2/4]+zdv/[(v+r/2)^2+3r^2/4]=-b/a*dt
xdv/(v-r)+y(v+r/2)d(v+r/2)/[(v+r/2)^2+3r^2/4]+(z-ry/2)d(v+r/2)/[(v+r/2)^2+3r^2/4]=-b/a*dt
两边分别对v、t积分，得
xln|v-r|+y*1/2*ln[(v+r/2)^2+3r^2/4]+(z-ry/2)*1/(√3r/2)*arctan[(v+r/2)/(√3r/2)]=-bt/a+C
C为常数。