Question

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式: <ln(x+1)&l

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式: <ln(x+1)<x;(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<0

Answer 1

(1) f(x)在(-1, )为减，在（ ，+ ）为增 (2)将所证明的不等式利用构造函数，借助于导数的思想求解最值，来证明不等式恒大于等于零或者恒小于等于零即可。 (3)在上一问的基础上，进一步分析得到a的表达式，利用构造函数来求证。

试题分析：解：（1）f’(x)= (x>-1,a>0) 令f’(x)=0 f(x)在(-1, )为减，在（ ，+ ）为增 f (x) min =f( )=1-(a+1)ln( +1) （2）设F(x)=ln(x+1)- F’(x)= F(x)在（0，+ ）为增函数 F(x)>F(0)="0" F(x)>0即 G(x)=x-ln(x+1)(x>0) G’(x)=1-     G(x)在（0，+ ）为增函数 G(x)>G(0)="0"   G(x)>0即ln(x+1)<x 经上可知 （3）由（1）知： 点评：导数在函数中的应用，频率最多的试题就是考查函数的单调性，以及证明不等式。那么对于后者的求解，关键是构造函数，借助于函数的最值来得到证明。