Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝3Sn(n∈N*)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log4an

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝3Sn(n∈N*)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log4an，求b1+b2+…+bn的值．

Answer 1

（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1，相减得 a_n+2-a_n+1=3a_n+1，
∴

an+2

an+1

＝4（n∈N^*），
∴数列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…是以4为公比的等比数列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
∴an＝

1 ，       n＝1 3×4n?2  ，n≥2 ，n∈N

…（5分）
（2）bn＝

0，(n＝1) log43+(n?2)，(n≥2)

∴n＝1，b1＝

(1?1)2

2

＝0，
n≥2，b_n=log₄3+（n-2），
b₁+b₂+…+b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）+…+（log₄3+（n-2））
=（n-1）

log

3 4

+

(n?2)(n?1)

2

．