Question

如图，F为双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线

如图，F为双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点，已知四边形OFPM为平行四形，|PF|＝λ|OF|．写出双曲线C的离心率e与λ的关系式．

Answer 1

∵四边形OFPM是平行四边形，∴|OF|=|PM|=c，
作双曲线的右准线，交PM于H，
则|PM|=|PH|+|MH|=|OF|，可得|PH|=|OF|-|MH|=c-

2a2

c

，
由圆锥曲线的统一定义，得

|PF|

|PH|

＝e，
结合|

PF

|＝λ|

OF

|，得

λ|OF|

c? 2a2 c

＝e即

λc

c? 2a2 c

＝e，
∴

λ

1? 2a2 c2

＝

λ

1? 2 e2

＝e，
去分母化简得e²-λe-2=0，即为所求离心率e与λ的关系式．