Question

数列{xn}有界是此数列收敛的______条件

数列{xn}有界是此数列收敛的______条件．

Answer 1

必要性成立．
假设

lim

n→∞

xn=A．
由收敛的定义，
对于?=1，存在正数N，当n＞N时，|x_n-A|＜1，从而A|+1．
取M={|A|+1，x₁，…，x_N}，
则对于任意n，均有|x_n|≤M，
即数列{x_n}有界．
但是，有界序列不一定收敛，如x_n=（-1）ⁿ，有界但不收敛．
故答案为：必要．

Answer 2

数列{xn}有界是数列收敛的必要条件，数列{xn}收敛是数列{xn}有界的充分条件。